Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 3 x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 6.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 7

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

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$- \frac{- 1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2.3

Multipliez $\frac{1}{x^{3}}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2.4

Associez $\frac{3}{5}$ et $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 10 \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Étape 9.2.5

Associez $10$ et $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{10 (3 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Étape 9.2.6

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{30 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Étape 9.2.7

Factorisez $5$ à partir de $30 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Étape 9.2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.8.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5 (1)} + C$

Étape 9.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{6 x^{\frac{5}{3}}}{1} + C$

Étape 9.2.8.4

Divisez $6 x^{\frac{5}{3}}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + C$