Calcul infinitésimal Exemples

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Étape 1

Déterminez $y'$ .

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Étape 1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.3.3

Différenciez.

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Étape 1.3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Étape 2

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Étape 3.2

Additionnez $- 6 e^{- 2 x}$ et $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

Étape 4

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = 3 e^{- 2 x}$ est une solution à $y' + 2 y = 0$