Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Développez $(2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7.7

Remettez dans l’ordre $2 x^{\frac{1}{2}}$ et $3 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 13.2

Simplifiez

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Étape 13.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 13.2.2

Associez $2$ et $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 13.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$