Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ et $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 12 x^{2} + 4$ et $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ et $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x - 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.10715987, 0.26959443, 0.83756543$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1.10715987, 0.26959443, 0.83756543$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1.10715987$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(- 1.10715987)}^{2} + 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 1.10715987$ à la puissance $2$ .

$- 12 \cdot 1.22580298 + 4$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 12$ par $1.22580298$ .

$- 14.70963577 + 4$

Étape 9.2

Additionnez $- 14.70963577$ et $4$ .

$- 10.70963577$

Étape 10

$x = - 1.10715987$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1.10715987$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1.10715987$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.10715987$ dans l’expression.

$f (- 1.10715987) = - {(- 1.10715987)}^{4} + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $- 1.10715987$ à la puissance $4$ .

$f (- 1.10715987) = - 1 \cdot 1.50259294 + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1.50259294$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

Étape 11.2.1.3

Élevez $- 1.10715987$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2 \cdot 1.22580298 - (- 1.10715987) - 2$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $2$ par $1.22580298$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2.45160596 - (- 1.10715987) - 2$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1.10715987$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2.45160596 + 1.10715987 - 2$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $- 1.50259294$ et $2.45160596$ .

$f (- 1.10715987) = 0.94901301 + 1.10715987 - 2$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0.94901301$ et $1.10715987$ .

$f (- 1.10715987) = 2.05617288 - 2$

Étape 11.2.2.3

Soustrayez $2$ de $2.05617288$ .

$f (- 1.10715987) = 0.05617288$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0.05617288$ .

$y = 0.05617288$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.26959443$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(0.26959443)}^{2} + 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $0.26959443$ à la puissance $2$ .

$- 12 \cdot 0.07268115 + 4$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 12$ par $0.07268115$ .

$- 0.87217391 + 4$

Étape 13.2

Additionnez $- 0.87217391$ et $4$ .

$3.12782608$

Étape 14

$x = 0.26959443$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.26959443$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 0.26959443$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $0.26959443$ dans l’expression.

$f (0.26959443) = - {(0.26959443)}^{4} + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $0.26959443$ à la puissance $4$ .

$f (0.26959443) = - 1 \cdot 0.00528255 + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.00528255$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

Étape 15.2.1.3

Élevez $0.26959443$ à la puissance $2$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 2 \cdot 0.07268115 - (0.26959443) - 2$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $2$ par $0.07268115$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 0.14536231 - (0.26959443) - 2$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0.26959443$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 0.14536231 - 0.26959443 - 2$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 0.00528255$ et $0.14536231$ .

$f (0.26959443) = 0.14007976 - 0.26959443 - 2$

Étape 15.2.2.2

Soustrayez $0.26959443$ de $0.14007976$ .

$f (0.26959443) = - 0.12951466 - 2$

Étape 15.2.2.3

Soustrayez $2$ de $- 0.12951466$ .

$f (0.26959443) = - 2.12951466$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 2.12951466$ .

$y = - 2.12951466$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.83756543$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(0.83756543)}^{2} + 4$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $0.83756543$ à la puissance $2$ .

$- 12 \cdot 0.70151585 + 4$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 12$ par $0.70151585$ .

$- 8.4181903 + 4$

Étape 17.2

Additionnez $- 8.4181903$ et $4$ .

$- 4.4181903$

Étape 18

$x = 0.83756543$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.83756543$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 0.83756543$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $0.83756543$ dans l’expression.

$f (0.83756543) = - {(0.83756543)}^{4} + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Élevez $0.83756543$ à la puissance $4$ .

$f (0.83756543) = - 1 \cdot 0.49212449 + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.49212449$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

Étape 19.2.1.3

Élevez $0.83756543$ à la puissance $2$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 2 \cdot 0.70151585 - (0.83756543) - 2$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $2$ par $0.70151585$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 1.40303171 - (0.83756543) - 2$

Étape 19.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0.83756543$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 1.40303171 - 0.83756543 - 2$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Additionnez $- 0.49212449$ et $1.40303171$ .

$f (0.83756543) = 0.91090721 - 0.83756543 - 2$

Étape 19.2.2.2

Soustrayez $0.83756543$ de $0.91090721$ .

$f (0.83756543) = 0.07334178 - 2$

Étape 19.2.2.3

Soustrayez $2$ de $0.07334178$ .

$f (0.83756543) = - 1.92665821$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- 1.92665821$ .

$y = - 1.92665821$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ .

$(- 1.10715987, 0.05617288)$ est un maximum local

$(0.26959443, - 2.12951466)$ est un minimum local

$(0.83756543, - 1.92665821)$ est un maximum local

Étape 21