Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{3}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3} d x$

Étape 3

Développez $(x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x) x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int x^{3} x^{- 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int x^{3 - 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{0} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 (x^{1} x^{- 3}) - 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{1 - 3} - 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.8

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.9

Remettez dans l’ordre $1$ et $- 4 x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} + 1 - 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.10

Déplacez $1$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} + 1 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int - 4 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Étape 5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- 4 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 3} d x + \int d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int d x)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int d x)$

Étape 9.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int d x)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + x + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$