Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x^{3} - 6$ . Alors $d u = 6 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x^{3} - 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 6]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$6 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Étape 3

Associez $\sec^{2} (u)$ et $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{\sec^{2} (u)}{6} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{6} \int \sec^{2} (u) d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{6}$ et $5$ .

$\frac{5}{6} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 6

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$\frac{5}{6} (\tan (u) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{5}{6} \tan (u) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{5}{6} \tan (2 x^{3} - 6) + C$