Calcul infinitésimal Exemples

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Étape 3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 6.2

Associez $\csc^{2} (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Étape 8

Comme la dérivée de $- \cot (u)$ est $\csc^{2} (u)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u)$ est $- \cot (u)$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\cot (u)$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$