Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Étape 1

Laissez $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Alors $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 1.1.4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 1.1.4.3.3

Réorganisez les facteurs de $\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ .

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 2

Associez ${u_{3}}^{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{4}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$