Calcul infinitésimal Exemples

$- 2 x e^{1 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

Étape 1.10

Multipliez $e^{1 - x^{2}}$ par $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

Étape 1.11.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Étape 1.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Étape 1.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.10

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.11

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.11.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.11.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 4 (x^{1 + 2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.11.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.2.12

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{1 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{1 - x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 \frac{d}{d x} e^{1 - x^{2}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

Étape 2.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x))$

Étape 2.3.8

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (x) = - 8 (x^{3} (e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 8 (e^{1 - x^{2}} (x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $8 e^{1 - x^{2}} x$ et $4 e^{1 - x^{2}} x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 x e^{1 - x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

Étape 4.1.2

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

Étape 4.1.10

Multipliez $e^{1 - x^{2}}$ par $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

Étape 4.1.11

Simplifiez

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Étape 4.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

Étape 4.1.11.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Étape 4.1.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Étape 4.1.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $2 e^{1 - x^{2}}$ à partir de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 e^{1 - x^{2}}$ à partir de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 e^{1 - x^{2}}$ à partir de $- 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 e^{1 - x^{2}}$ à partir de $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{1 - x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{1 - x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{1 - x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{1 - x^{2}} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{1 - x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{1 - x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{1 - x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 1$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 8 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 8 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 8 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.1.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- 8 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 8 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$8 (- 1) \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot - 1 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 (2 \sqrt{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.2.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.1.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.9

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.11.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.11.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.11.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.11.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.11.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.11.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.11.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.11.2.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 9.1.11.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

Étape 9.1.11.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.1.11.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 9.1.11.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.11.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 9.1.11.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 9.1.11.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.12

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 9.1.14

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Étape 9.2

Additionnez $- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ et $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 11.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 11.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Réécrivez $- 1 \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

Étape 11.2.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 11.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 11.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 11.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 11.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 11.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 11.2.3.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 8 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 8 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 13.1.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 13.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \sqrt{2}}{8}$ dans le numérateur.

$- 8 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.5.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$8 (- 1) \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot - 1 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (- 2 \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.7.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.7.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.7.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.7.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.7.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.7.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.4.5

Évaluez l’exposant.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.7.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.10

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.11.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.11.3

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.11.4

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 (- \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.12

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.13

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.13.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.13.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Étape 13.1.13.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 13.1.13.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.13.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.13.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.13.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.13.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.4.5

Évaluez l’exposant.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 13.1.13.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

Étape 13.1.13.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.13.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 13.1.13.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.13.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 13.1.13.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 13.1.13.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 13.1.14

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 13.1.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 13.1.16

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Étape 13.2

Soustrayez $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ de $2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Étape 14

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 15.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 15.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 15.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 (- \sqrt{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez.

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Étape 15.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 15.2.1.2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 15.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Étape 15.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 15.2.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 15.2.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 15.2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 15.2.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 15.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 15.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

Étape 15.2.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 15.2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 15.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 15.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 15.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 15.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 15.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 15.2.3.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $\sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 2 x e^{1 - x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ est un minimum local

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ est un maximum local

Étape 17