Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sqrt{3 x + 2} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \sqrt{3 x + 2}$ .

$x^{2} (\frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{9}$ et ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{2} \frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{9} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{9} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \cdot 2 \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $\frac{2}{9}$ et $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 3 x + 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int u^{\frac{3}{2}} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) \frac{1}{3} d u$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) d u$

Étape 7

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (- \frac{2}{3}) d u$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ par $\frac{u}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Étape 7.4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u^{1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Étape 7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + 1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Étape 7.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Étape 7.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3 + 2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Étape 7.8

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Étape 7.9

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Étape 7.10

Associez $- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 2}{3} d u$

Étape 7.11

Associez $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}}{3} d u$

Étape 8

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Étape 8.1

Déplacez $2$ à gauche de $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{2 \cdot u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

Étape 8.2

Réécrivez $- 1 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ comme $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

Étape 8.3

Réécrivez $\frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3}$ comme un produit.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 3} d u$

Étape 8.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Étape 12

Associez $\frac{2}{7}$ et $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Étape 14

Comme $\frac{2}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{2}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - (\frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Étape 16

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Étape 16.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Étape 16.2

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$\frac{2}{9} x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 16.3

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Étape 16.3.1

Associez $\frac{2}{9}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 16.3.2

Associez $\frac{2 x^{2}}{9}$ et ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 16.3.3

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{9 \cdot 7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 16.3.4

Multipliez $9$ par $7$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 16.3.5

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 16.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 16.3.7

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 16.3.8

Pour écrire $- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{9}{9} + C$

Étape 16.3.9

Associez $- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

Étape 16.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

Étape 16.3.11

Associez $\frac{2}{63}$ et $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

Étape 16.3.12

Associez $u^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{4}{45}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45}) \cdot 9}{9} + C$

Étape 16.3.13

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 9 (\frac{4}{9}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Étape 16.3.14

Associez $- 9$ et $\frac{4}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 \cdot 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Étape 16.3.15

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Étape 16.3.16

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $9$ .

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Étape 16.3.16.1

Factorisez $9$ à partir de $- 36$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Étape 16.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.3.16.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Étape 16.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Étape 16.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Étape 16.3.16.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Étape 16.3.17

Déplacez $4$ à gauche de $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

Étape 17

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 2$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{9} (2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{63} {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}})) + C$