Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Étape 1

Écrivez $- \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (3 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 7.2

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 10

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 10.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 10.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{- 3} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

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Étape 12.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 12.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$- 3 (- \frac{1}{x}) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 12.3

Simplifiez

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 12.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 12.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3}{x} - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 12.3.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

Étape 12.3.5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 12.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Étape 12.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

Étape 12.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Étape 12.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x} + \frac{- 2}{x^{2}} + C$

Étape 12.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$