Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} + \frac{x^{2}}{y} = 5$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Étape 2.2.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Pour écrire $2 x y y'$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.3

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1.3.1

Déplacez $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.3.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 2.4.1.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y^{1}) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2} + \frac{2 x y^{2 + 1} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.4

Pour écrire $y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2} y^{2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2 + 2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.6.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{y^{4} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1.1

Soustrayez $y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = - y^{4}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{3} x y' - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $2 y^{3} x y' - x^{2} y'$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x y'$ à partir de $2 y^{3} x y'$ .

$x y' (2 y^{3}) - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $- x^{2} y'$ .

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x) = - y^{4} - 2 x y$

Étape 5.2.2.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' (2 y^{3}) + x y' (- x)$ .

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$

Étape 5.2.3

Divisez chaque terme dans $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ par $x (2 y^{3} - x)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ par $x (2 y^{3} - x)$ .

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2 y^{3} - x$ .

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Étape 5.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 y}{2 y^{3} - x}$

Étape 5.2.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$

Étape 5.2.3.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.2.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (2 y^{3} - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.3.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{(2 y^{3} - x) x}$

Étape 5.2.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 y^{3} - x) x$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{4} - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- y^{4} - 2 y x$ .

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Étape 5.2.3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{4}$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) + y (- 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y^{3}) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{3} - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - (2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{3}) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.3.9.1

Réécrivez $- (y^{3} + 2 x)$ comme $- 1 (y^{3} + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 5.2.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$