Calcul infinitésimal Exemples

$3^{x} + 2021$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3^{x} + 2021$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$ .

$\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [2021]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $2021$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2021$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3^{x} \ln (3) + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $3^{x} \ln (3)$ et $0$ .

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\ln (3)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3^{x} \ln (3)$ par rapport à $x$ est $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$\ln (3) (3^{x} \ln (3))$

Étape 2.3

Élevez $\ln (3)$ à la puissance $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3))$

Étape 2.4

Élevez $\ln (3)$ à la puissance $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1}$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 3^{x} \ln^{2} (3)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $\ln^{2} (3)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3^{x} \ln^{2} (3)$ par rapport à $x$ est $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$\ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3))$

Étape 3.3

Multipliez $\ln^{2} (3)$ par $\ln (3)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $\ln (3)$ .

$\ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\ln (3)$ par $\ln^{2} (3)$ .

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Étape 3.3.2.1

Élevez $\ln (3)$ à la puissance $1$ .

$\ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x}$

Étape 3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$ .

$f''' (x) = 3^{x} \ln^{3} (3)$