Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Divisez en utilisant la division polynomiale longue.

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Étape 1.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 1.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 1.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Étape 1.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{5} + 0 + 0 - x^{2}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Étape 1.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Étape 1.1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 1.1.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

Étape 1.2

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.2.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1^{3}}$

Étape 1.2.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 1.2.1.3

Simplifiez

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Étape 1.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Étape 1.2.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 1.2.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Étape 1.2.3

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun de $x^{2} + x + 1$ .

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Étape 1.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.6.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.2.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Divisez $(A) (x^{2} + x + 1)$ par $1$ .

$x^{2} = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.7.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + x + 1$ .

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Étape 1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2.7.4.2

Divisez $(B x + C) (x - 1)$ par $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Étape 1.2.7.5

Développez $(B x + C) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.7.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Étape 1.2.7.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Étape 1.2.7.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.2.7.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.7.6.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.2.7.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.2.7.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $B x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.2.7.6.3

Réécrivez $- 1 (B x)$ comme $- (B x)$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.2.7.6.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Étape 1.2.7.6.5

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Remettez dans l’ordre $B$ et $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Étape 1.2.8.2

Déplacez $B$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Étape 1.2.8.3

Déplacez $A$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Étape 1.2.8.4

Déplacez $A x$ .

$x^{2} = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Étape 1.3

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.3.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 1.3.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A - 1 B + C$

Étape 1.3.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A - 1 C$

Étape 1.3.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Étape 1.4

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.4.1

Résolvez $A$ dans $1 = A + B$ .

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Étape 1.4.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Étape 1.4.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - B$ dans chaque équation.

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Étape 1.4.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A - 1 B + C$ par $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez $(1 - B) - 1 B + C$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$0 = 1 - B - B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Étape 1.4.2.2.1.2

Soustrayez $B$ de $- B$ .

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Étape 1.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A - 1 C$ par $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Étape 1.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.4.1

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Étape 1.4.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $- B$ .

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

Étape 1.4.4

Résolvez $C$ dans $0 = 1 - 2 B + C$ .

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Étape 1.4.4.1

Réécrivez l’équation comme $1 - 2 B + C = 0$ .

$1 - 2 B + C = 0$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Étape 1.4.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.4.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 B + C = - 1$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Étape 1.4.4.2.2

Ajoutez $2 B$ aux deux côtés de l’équation.

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Étape 1.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $- 1 + 2 B$ dans chaque équation.

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Étape 1.4.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $0 = 1 - B - C$ par $- 1 + 2 B$ .

$0 = 1 - B - (- 1 + 2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.5.2.1

Simplifiez $1 - B - (- 1 + 2 B)$ .

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Étape 1.4.5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.5.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.5.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.5.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.4.5.2.1.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$0 = - B + 2 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.5.2.1.2.2

Soustrayez $2 B$ de $- B$ .

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.6

Résolvez $B$ dans $0 = - 3 B + 2$ .

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Étape 1.4.6.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 B + 2 = 0$ .

$- 3 B + 2 = 0$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 B = - 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.6.3

Divisez chaque terme dans $- 3 B = - 2$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 1.4.6.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 B = - 2$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.4.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.6.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.6.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.7

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{2}{3}$ dans chaque équation.

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Étape 1.4.7.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $C = - 1 + 2 B$ par $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.7.2.1

Simplifiez $- 1 + 2 (\frac{2}{3})$ .

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Étape 1.4.7.2.1.1

Multipliez $2 (\frac{2}{3})$ .

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Étape 1.4.7.2.1.1.1

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.7.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.7.2.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$C = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.7.2.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.7.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.7.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.7.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$C = \frac{- 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.7.2.1.5.2

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Étape 1.4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B + 1$ par $\frac{2}{3}$ .

$A = - (\frac{2}{3}) + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Étape 1.4.7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.7.4.1

Simplifiez $- (\frac{2}{3}) + 1$ .

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Étape 1.4.7.4.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = - \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Étape 1.4.7.4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{- 2 + 3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Étape 1.4.7.4.1.3

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Étape 1.4.8

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Étape 1.5

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $x^{2} + \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{3 x} + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $\frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.6.1.2

Associez.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 1.6.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.6.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 1.6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 1.6.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3}) \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 1.6.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 1.6.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

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Étape 1.6.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 1.6.3.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Étape 1.6.3.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Étape 1.6.3.3.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Étape 1.6.3.3.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 1.6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 1.6.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

Étape 8

Laissez $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Alors $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , donc $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 8.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 8.1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Étape 8.1.6

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$2 x + 1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$