Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1} + C - \int x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- x^{- 1} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- x^{- 1} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{1}{3} x + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- x^{- 1} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{3} x + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$- \frac{1}{x} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3} x + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3} x + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3} x + C$