Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{- 1}}{x + 4 x^{- 1}}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1.1

Convertissez les exposants négatifs en fractions.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 x^{- 1}}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

Étape 1.1.2

Combinez les facteurs.

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Étape 1.1.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

Étape 1.1.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Étape 1.1.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.1

Pour écrire $3 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x}{x} + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Étape 1.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Étape 1.1.3.3

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{4}{x}}$

Étape 1.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}$

Étape 1.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cdot x + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Étape 1.2.2

Combinez les facteurs.

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Étape 1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Étape 1.2.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x^{1}) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Étape 1.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{1 + 1} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Étape 1.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Étape 1.2.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x + 4}$

Étape 1.2.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} + 4}$

Étape 1.2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} + 4}$

Étape 1.2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{2} + 4}$

Étape 1.2.2.9

Multipliez $\frac{3 x^{2} + 2}{x}$ par $\frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2} + 4}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Étape 6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

Étape 9

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{0^{2} + 4}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0^{2} + 4}$

Étape 11.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 2}{0^{2} + 4}$

Étape 11.1.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{2}{0^{2} + 4}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{0 + 4}$

Étape 11.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{2}{4}$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Étape 11.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$