Calcul infinitésimal Exemples

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Étape 1

Déterminez $y'$ .

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Étape 1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez.

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Étape 1.3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Étape 1.3.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 e^{2 x}$

Étape 2

Déterminez $y''$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.4

Supprimez les parenthèses.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 2.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Étape 3

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Étape 4

Additionnez $2 e^{2 x}$ et $4 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Étape 5

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = e^{2 x}$ est une solution à $y' + y'' = 6 e^{2 x}$