Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{4}{7} {(\frac{7}{6})}^{i - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\frac{4}{7}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ et ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ à partir de ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $i$ et $0$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - (i - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = \frac{7}{6}$

Étape 3

Vérifiez si la série est convergente ou divergente.

Comme $| r | \geq 1$ , la série diverge.