Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{e^{2 x}} d x$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Inversez l’exposant de $e^{2 x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int x {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{2 x \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int x e^{- 2 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Étape 4

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Étape 5

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Étape 6

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 7

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 7.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Étape 12

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Étape 12.1

Réécrivez $- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ comme $- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 12.2

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Étape 12.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 12.2.2

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Étape 14

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$