Calcul infinitésimal Exemples

$\int x (2 x^{2} + 1) d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x^{2} + 1$ . Alors $d u = 4 x d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$4 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Associez $u$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u}{4} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{8} {(2 x^{2} + 1)}^{2} + C$