Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - 1}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x - 1}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

Étape 5

Multipliez $(x - 1) x^{- 2}$ .

$\int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

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Étape 6.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.1.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.2

Réécrivez $- 1 x^{- 2}$ comme $- x^{- 2}$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Étape 8

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

Simplifiez

$\ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Étape 11.2

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$