Calcul infinitésimal Exemples

$7^{x} + 1102$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7^{x} + 1102$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [1102]$ .

$\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [1102]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$7^{x} \ln (7) + \frac{d}{d x} [1102]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $1102$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1102$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7^{x} \ln (7) + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $7^{x} \ln (7)$ et $0$ .

$f' (x) = 7^{x} \ln (7)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\ln (7)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7^{x} \ln (7)$ par rapport à $x$ est $\ln (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$ .

$\ln (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$\ln (7) (7^{x} \ln (7))$

Étape 2.3

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$7^{x} (\ln^{1} (7) \ln (7))$

Étape 2.4

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$7^{x} (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7))$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7^{x} {\ln (7)}^{1 + 1}$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 7^{x} \ln^{2} (7)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $\ln^{2} (7)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7^{x} \ln^{2} (7)$ par rapport à $x$ est $\ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$ .

$\ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$\ln^{2} (7) (7^{x} \ln (7))$

Étape 3.3

Multipliez $\ln^{2} (7)$ par $\ln (7)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $\ln (7)$ .

$\ln (7) \ln^{2} (7) \cdot 7^{x}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\ln (7)$ par $\ln^{2} (7)$ .

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Étape 3.3.2.1

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$\ln^{1} (7) \ln^{2} (7) \cdot 7^{x}$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\ln (7)}^{1 + 2} \cdot 7^{x}$

Étape 3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\ln^{3} (7) \cdot 7^{x}$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $\ln^{3} (7) \cdot 7^{x}$ .

$f''' (x) = 7^{x} \ln^{3} (7)$