Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x^{- 2}}{x - x^{- 1}}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1.1

Convertissez les exposants négatifs en fractions.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - x^{- 1}}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Étape 1.1.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.1

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Étape 1.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Étape 1.1.2.3

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x - 1}{x}}$

Étape 1.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Étape 1.2.2

Combinez les facteurs.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2 + 2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Étape 1.2.2.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Étape 1.2.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x - 1}$

Étape 1.2.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} - 1}$

Étape 1.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} - 1}$

Étape 1.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{2} - 1}$

Étape 1.2.2.6

Multipliez $\frac{x^{4} - 1}{x^{2}}$ par $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} - 1) x}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $(x^{4} - 1) x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Étape 1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Étape 1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Étape 2.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 2.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.6.1

Multipliez $1^{2} - 1 \cdot 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.6.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 2.1.3.6.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Étape 2.3.16

Multipliez $x^{2} - 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + x^{2} - 1}$

Étape 2.3.17

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$4 \frac{1^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$4 \frac{1^{3}}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1}$

Étape 5.2.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$4 (\frac{1}{2})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$2$