Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 16$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}]$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}]$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}]$

Étape 3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}]$

Étape 3.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Étape 3.2.1.2

Divisez $4 (x + 2)$ par $1$ .

$\frac{d}{d y} [4 (x + 2)]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [4 x + 4 \cdot 2]$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + 8]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 8$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$4 x' + \frac{d}{d y} [8]$

Étape 3.6

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8$ par rapport à $y$ est $0$ .

$4 x' + 0$

Étape 3.7

Additionnez $4 x'$ et $0$ .

$4 x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 4 x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $4 x' = 1$ .

$4 x' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 x' = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x' = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{4}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4}$