Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \cdot e^{x}$

Étape 1

Écrivez $x^{2} \cdot e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{2} \cdot e^{x} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Étape 8

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Étape 9

Réécrivez $x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$ comme $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$