Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.5

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.1.3

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (6 x) - \cos (7 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (7 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \cdot 7)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4.6

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- 7 \sin (7 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4.7

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{2 x}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 6 \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 lim_{x \to 0} \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.5

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.7

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.9.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.9.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \cdot 0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.9.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.9.1.4

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.9.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.9.1.6

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)]$ .

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Étape 5.3.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \sin (6 x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.6

Déplacez $6$ à gauche de $\cos (6 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cdot 6 \cdot \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \sin (7 x)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $7 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.6

Déplacez $7$ à gauche de $\cos (7 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cdot 7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.7

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{1}$

Étape 5.4

Divisez $- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 36 \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Étape 6.2

Placez le terme $36$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 lim_{x \to 0} \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Étape 6.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Étape 6.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Étape 6.5

Placez le terme $49$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 lim_{x \to 0} \cos (7 x))$

Étape 6.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (lim_{x \to 0} 7 x))$

Étape 6.7

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Étape 8.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cdot 1 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Étape 8.1.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Étape 8.1.4

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (0))$

Étape 8.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cdot 1)$

Étape 8.1.6

Multipliez $49$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49)$

Étape 8.2

Additionnez $- 36$ et $49$ .

$\frac{1}{2} \cdot 13$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $13$ .

$\frac{13}{2}$