Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y - \frac{x}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Étape 2.3.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Étape 2.3.7

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Étape 2.3.8

Additionnez $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ et $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Pour écrire $x^{2} y'$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

Étape 5.1.1.2

Multipliez $- (- x y')$ .

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Étape 5.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

Étape 5.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5.1.2

Pour écrire $2 x y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5.1.4

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.1.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Soustrayez $2 x y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

Étape 5.3.1.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Étape 5.3.2

Factorisez $x y'$ à partir de $x^{2} y' y^{2} + x y'$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x y'$ à partir de $x^{2} y' y^{2}$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $x y'$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ par $x (x y^{2} + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ par $x (x y^{2} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x y^{2} + 1$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x y^{2} + 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x y^{2} + 1) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y^{3} x + y$ .

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Étape 5.3.3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.5.4

Factorisez $y$ à partir de $y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.7

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.3.9.1

Réécrivez $- (2 y^{2} x - 1)$ comme $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 5.3.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$