Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + y^{2} - x y = 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + y^{2} - x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$4 x + 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.4.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 2 y y' - (x y') - y$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x + 2 y y' - x y' - y$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' - x y' + 4 x - y$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' - x y' + 4 x - y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' - x y' - y = - 4 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' - x y' = - 4 x + y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y' - x y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = - 4 x + y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = - 4 x + y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = - 4 x + y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ par $2 y - x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ par $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y - x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 4 x + y}{2 y - x}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$y' = \frac{- (4 x) + y}{2 y - x}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{- (4 x) - 1 (- y)}{2 y - x}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (4 x - y)}{2 y - x}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.5.1

Réécrivez $- (4 x - y)$ comme $- 1 (4 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - y)}{2 y - x}$

Étape 5.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$