Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Étape 4

Développez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) d x$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.5

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\int x^{2} x^{2} + 1 \cdot x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 + 2} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.7

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{4} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.8

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.10

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 d x$

Étape 4.11

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\int x^{4} + 2 x^{2} + 1 d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x + C$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$