Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.2.1.3

Évaluez la limite de $25$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{0}{5 - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.3.4

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.3.8

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + 0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 2.4

Divisez $2 x$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Étape 3.2

Placez la limite sous le radical.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + 7}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

Étape 3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$2 \cdot 5 + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$2 \cdot 5 + \sqrt{5^{2} + 7}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 + \sqrt{5^{2} + 7}$

Étape 5.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$10 + \sqrt{25 + 7}$

Étape 5.3

Additionnez $25$ et $7$ .

$10 + \sqrt{32}$

Étape 5.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$10 + \sqrt{16 (2)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$10 + \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Étape 5.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$10 + 4 \sqrt{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$10 + 4 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$15.65685424 \dots$