Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.8

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 + 0$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4 + 0$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ et $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} - 24 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 24$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$20 x^{3} + \frac{- 24}{x^{5}} + 0$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}} + 0$

Étape 2.5.2.3

Additionnez $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{24}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Étape 3.3.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Étape 3.3.7

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Étape 3.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{4 - 10})$

Étape 3.3.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 6})$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 5$ par $- 24$ .

$60 x^{2} + 120 x^{- 6}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 x^{2} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 3.4.2

Associez $120$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{120}{x^{6}}$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{6}}$ comme ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{6}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{6}$ .

$120 x + 120 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$120 x + 120 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{6}$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Étape 4.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$120 x + 120 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$120 x + 120 (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Étape 4.3.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Étape 4.3.7

Multipliez $x^{- 12}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Déplacez $x^{5}$ .

$120 x + 120 (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Étape 4.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$120 x + 120 (- 6 x^{5 - 12})$

Étape 4.3.7.3

Soustrayez $12$ de $5$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 7})$

Étape 4.3.8

Multipliez $- 6$ par $120$ .

$120 x - 720 x^{- 7}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$120 x - 720 \frac{1}{x^{7}}$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Associez $- 720$ et $\frac{1}{x^{7}}$ .

$120 x + \frac{- 720}{x^{7}}$

Étape 4.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = 120 x - \frac{720}{x^{7}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $120 x - \frac{720}{x^{7}}$ .

$120 x - \frac{720}{x^{7}}$