Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 7.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 7.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{- 3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 9.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 9.2

Simplifiez

$\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$