Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 5 x}{\sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 5 x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 5 x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 5 lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 5 \cdot 5}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25 - 5 \cdot 5}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1.1.2.5.1.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - lim_{x \to 5} 3}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 4} - lim_{x \to 5} 3}$

Étape 1.1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 4} - lim_{x \to 5} 3}$

Étape 1.1.3.1.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 4} - lim_{x \to 5} 3}$

Étape 1.1.3.1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 4} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{5 + 4} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Additionnez $5$ et $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 5 x}{\sqrt{x + 4} - 3} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x + 4} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}]$ .

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Étape 1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 4}$ comme ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 1.3.6.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.13

Multipliez $\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.6.14

Placez ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Étape 1.3.8

Additionnez $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 5} (2 x - 5) (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.5

Réécrivez ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x + 4}$ .

$lim_{x \to 5} (2 x - 5) (2 \sqrt{x + 4})$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 5} (2 x - 5) \sqrt{x + 4}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 lim_{x \to 5} 2 x - 5 \cdot lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 (lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 5) \cdot lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 (2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5) \cdot lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 (2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4}$

Étape 2.6

Placez la limite sous le radical.

$2 (2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{lim_{x \to 5} x + 4}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 (2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 4}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 (2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{lim_{x \to 5} x + 4}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$2 (2 \cdot 5 - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{lim_{x \to 5} x + 4}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$2 (2 \cdot 5 - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{5 + 4}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 (10 - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{5 + 4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$2 (10 - 5) \cdot \sqrt{5 + 4}$

Étape 4.2

Soustrayez $5$ de $10$ .

$2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5 + 4}$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 \cdot \sqrt{5 + 4}$

Étape 4.4

Additionnez $5$ et $4$ .

$10 \cdot \sqrt{9}$

Étape 4.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$10 \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 4.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$10 \cdot 3$

Étape 4.7

Multipliez $10$ par $3$ .

$30$