Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $15$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{4 - \sqrt{1 + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Additionnez $1$ et $15$ .

$\frac{4 - \sqrt{16}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - 1^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - \sqrt{x + 15}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 15}$ comme ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 15$ .

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Étape 1.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 15$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 15$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.6

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.14

Multipliez $\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.15

Placez ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $\frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (2 x)}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - 2 x}$

Étape 1.3.9

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Étape 1.5

Réécrivez ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x + 15}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 15}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

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Étape 1.6.1

Multipliez $\frac{1}{- 2 x}$ par $\frac{1}{2 \sqrt{x + 15}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 2 x (2 \sqrt{x + 15})}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{- 4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{- 4} lim_{x \to 1} \frac{1}{x \sqrt{x + 15}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}$

Étape 2.6

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $15$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{1}{4} \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Étape 4.2

Multipliez $- - \frac{1}{4}$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 15}}$

Étape 4.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $15$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 4.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 4.5.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{16}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{16}$

Forme décimale :

$0.0625$