Calcul infinitésimal Exemples

$x + \sqrt{x + 1}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sqrt{x + 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

Étape 2.13

Multipliez $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.14

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$