Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $e$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $e$ de $e$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.4

Comme $- e$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} e^{x}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 1} x}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$e^{1}$

Étape 4

Simplifiez

$e$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e$

Forme décimale :

$2.71828182 \dots$