Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{x (2 x^{2} + 3)}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{x (2 x^{2}) + x \cdot 3}$

Étape 1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

Étape 1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x \cdot x^{2} + 3 \cdot x}$

Étape 1.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 (x^{2} x) + 3 \cdot x}$

Étape 1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x}$

Étape 1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x^{2 + 1} + 3 \cdot x}$

Étape 1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x^{3} + 3 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x^{3} + 3 x}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x^{3}}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

Étape 3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 3.6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 5.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Étape 7.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2 + 3 \cdot 0}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Étape 7.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$