Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{2} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 (- x^{- 1}) + C$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{- 1} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{- 1} + C$