Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 9 x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}$ .

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 7

Associez $\frac{5}{9}$ et $x^{\frac{9}{5}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 10.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 10.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 10.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 10.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 12.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \sqrt{x} d x$

Étape 14

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Étape 16.2

Simplifiez

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$