Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 (2^{2 x}) d x$

Étape 1

Multipliez $2$ par $2^{2 x}$ .

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Étape 1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\int 2^{1} \cdot 2^{2 x} d x$

Étape 1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2^{1 + 2 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 + 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $2^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $2^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{1 + 2 x} + C$