Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2} d x$

Étape 3

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 8 x^{4} + \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 8 x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{8 x^{5}}{5} + \frac{1}{2} (- x^{- 1}) + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 1}}{2} + C$

Étape 10.2.2

Placez $x^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{1}{2 x} + C$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$