Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 2.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 (2 x)$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \cdot 1$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $36$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $36$ .

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ .

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 2.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 3, 1$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 36$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 36$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 36$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 48$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 36$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $36$ .

$f'' (0) = 36$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $36$ .

$36$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 1)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 36$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 36$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 36$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 48$ par $2$ .

$f'' (2) = 48 - 96 + 36$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $96$ de $48$ .

$f'' (2) = - 48 + 36$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 48$ et $36$ .

$f'' (2) = - 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(1, 3)$ car $f'' (2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(1, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 48 \cdot 6 + 36$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 48 \cdot 6 + 36$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $36$ .

$f'' (6) = 432 - 48 \cdot 6 + 36$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 48$ par $6$ .

$f'' (6) = 432 - 288 + 36$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $288$ de $432$ .

$f'' (6) = 144 + 36$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $144$ et $36$ .

$f'' (6) = 180$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $180$ .

$180$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(1, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9