Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x - 1) (x + a) d x$

Étape 1

Développez $(x - 1) (x + a)$ .

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (x + a) - 1 (x + a) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x a - 1 (x + a) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x a - 1 x - 1 a d x$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x + x a - 1 x - 1 a d x$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + x a - 1 x - 1 a d x$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + 1} + x a - 1 x - 1 a d x$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x^{2} + x a - 1 x - 1 a d x$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $- 1 x$ et $- 1 a$ .

$\int x^{2} + x a - 1 a - 1 x d x$

Étape 1.9

Déplacez $x a$ .

$\int x^{2} - 1 a + x a - 1 x d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int - 1 a d x + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 a d x + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 1 a x + C + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + \int x a d x + \int - x d x$

Étape 6

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , placez $a$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a \int x d x + \int - x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - x d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int x d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Étape 11.2

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{3} - a x + \frac{a x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x^{3} - a x + \frac{1}{2} a x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} + C$