Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{5 x^{2} + 4}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{5 + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{5 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 6.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{5 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{5 + 4 \cdot 0}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0}{5 + 4 \cdot 0}$

Étape 8.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{5 + 4 \cdot 0}$

Étape 8.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{5 + 4 \cdot 0}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{5 + 0}$

Étape 8.2.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{0}{5}$

Étape 8.3

Divisez $0$ par $5$ .

$0$