Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{3}{x y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d x}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $\frac{3}{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{3}{x y} = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d x}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $\frac{x}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d x}{d y} - \frac{3}{x y} = - \frac{x}{y}$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $\frac{3}{x y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{3}{x y}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $- \frac{x}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x y}$

Étape 1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{3}{x y}$

Étape 1.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{3}{x y}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x \cdot x + 3}{x y}$

Étape 1.2.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- (x \cdot x) + 3}{x y}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{x}{- x^{2} + 3}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} (\frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{- x^{2} + 3}{x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x (y)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{y}$

Étape 1.5.3

Multipliez $\frac{1}{- x^{2} + 3}$ par $\frac{- x^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $- x^{2} + 3$ .

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Étape 1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Étape 1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \frac{1}{y} d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = - x^{2} + 3$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = - x^{2} + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $- x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$- 2 x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) = \ln (| y |) + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |)) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ par $1$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 \ln (| y |) - 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |) = - 2 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln ({| y |}^{2}) = - 2 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln (y^{2}) = - 2 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2}) = - 2 C$

Étape 3.4.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |)} = e^{- 2 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = y^{2} | - x^{2} + 3 |$

Étape 3.7

Résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ .

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$

Étape 3.7.2

Divisez chaque terme dans $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ par $y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ par $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Étape 3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Étape 3.7.2.2.1.2

Divisez $| - x^{2} + 3 |$ par $1$ .

$| - x^{2} + 3 | = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Étape 3.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- x^{2} + 3 = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Étape 3.7.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$

Étape 3.7.5

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.7.5.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.7.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.7.5.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.7.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.7.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ comme $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.7.5.3.1.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3$

Étape 3.7.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{y^{2}}) + 3}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$x = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{y^{2}}) + 3}$