Calcul infinitésimal Exemples

$(\sin (y) - y \sin (x)) d x + (\cos (x) + x \cos (y) - y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) - y \sin (x)]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (y) - y \sin (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- \sin (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y \sin (x)$ par rapport à $y$ est $- \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = \cos (x) + x \cos (y) - y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) + x \cos (y) - y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) + x \cos (y) - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $\cos (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.4.3

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $- \sin (x) + \cos (y)$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\cos (y) - \sin (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- \sin (x) + \cos (y)$ .

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (y) - y \sin (x) d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \sin (y) d x + \int - y \sin (x) d x$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \sin (y) x + C + \int - y \sin (x) d x$

Étape 5.3

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , placez $- y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y \int \sin (x) d x$

Étape 5.4

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y (- \cos (x) + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\sin (y) x]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\sin (y) x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 8.3.2

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $\cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 8.4.3

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x \cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y)$

Étape 9.1.2

Soustrayez $\cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $\cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $x \cos (y)$ de $x \cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y + 0 - \cos (x)$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $\cos (x) - y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y - \cos (x)$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $- y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Étape 10.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int y d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 10.5

Réécrivez $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

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Étape 12.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$