Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d f}{d x} = 12 x^{5} - 4 x + 3$ , $f (- 1) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d f = (12 x^{5} - 4 x + 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d f = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = 12 \int x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.7.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

$f + C_{1} = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $- 1$ et $f$ par $3$ dans $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ .

$3 = 2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$ .

$2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Étape 4.2

Simplifiez $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$2 \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 - 2 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 - 2 - 3 + K = 3$

Étape 4.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0 - 3 + K = 3$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3 + K = 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 3 + 3$

Étape 4.3.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$K = 6$

Étape 5

Remplacez $K$ par $6$ dans $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $6$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + 6$