Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1)}{x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} - 1}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} - 1}{x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2} - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.2.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 2.2.1.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}}$

Étape 2.2.1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 2.2.1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{y + 1}$

Étape 2.2.1.1.3

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 2.2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.6

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 2.2.1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 2.2.1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.7.1.2

Divisez $(A) (y - 1)$ par $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.7.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.7.4

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.7.5

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 2.2.1.1.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.7.5.2

Divisez $(B) (y + 1)$ par $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

Étape 2.2.1.1.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.7.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A y - A + B y + B$

Étape 2.2.1.1.8

Déplacez $- A$ .

$1 = A y + B y - A + B$

Étape 2.2.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.2.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $y$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 2.2.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $y$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 A + B$

Étape 2.2.1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Étape 2.2.1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.2.1.3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + B$ .

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Étape 2.2.1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Étape 2.2.1.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Étape 2.2.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- B$ dans chaque équation.

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Étape 2.2.1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = - 1 A + B$ par $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Étape 2.2.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (- B) + B$ .

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Étape 2.2.1.3.2.2.1.1

Multipliez $- 1 (- B)$ .

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Étape 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Étape 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Étape 2.2.1.3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Étape 2.2.1.3.3

Résolvez $B$ dans $1 = 2 B$ .

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Étape 2.2.1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Étape 2.2.1.3.3.2

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 2.2.1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 2.2.1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 2.2.1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.2.1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Étape 2.2.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{y + 1}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Étape 2.2.1.5.3

Déplacez $2$ à gauche de $y + 1$ .

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Étape 2.2.1.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

Étape 2.2.1.5.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{y - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.5.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.5.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.8

Laissez $u_{2} = y - 1$ . Puis $d u_{2} = d y$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.2.8.1

Laissez $u_{2} = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Étape 2.2.8.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 2.2.8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.8.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.9

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.10

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.2.11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Associez $\ln (| y + 1 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3.1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| y - 1 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ par $2$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})} = e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C + \ln (| y + 1 |)$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| y + 1 |)} = \frac{| y - 1 |}{x^{2}}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Étape 3.7.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.1

Développez $\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)})$ en déplaçant $2 C + \ln (| y + 1 |)$ hors du logarithme.

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Étape 3.7.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Étape 3.7.2.3

Multipliez $2 C + \ln (| y + 1 |)$ par $1$ .

$2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Étape 3.7.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Étape 3.7.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{\frac{| y - 1 |}{x^{2}}}) = - 2 C$

Étape 3.7.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (| y + 1 | (\frac{x^{2}}{| y - 1 |})) = - 2 C$

Étape 3.7.6

Associez $| y + 1 |$ et $\frac{x^{2}}{| y - 1 |}$ .

$\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Étape 3.7.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |})$ .

$\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Étape 3.7.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 C}$

Étape 3.7.9

Réécrivez $\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}$

Étape 3.7.10

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.10.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.2

Multipliez les deux côtés par $| y - 1 |$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Étape 3.7.10.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.3.1

Annulez le facteur commun de $| y - 1 |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Étape 3.7.10.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} | y + 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Étape 3.7.10.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.10.4.1

Réécrivez l’équation comme $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ .

$e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$

Étape 3.7.10.4.2

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ par $e^{- 2 C}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ par $e^{- 2 C}$ .

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Étape 3.7.10.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 C}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Étape 3.7.10.4.2.2.1.2

Divisez $| y - 1 |$ par $1$ .

$| y - 1 | = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Étape 3.7.10.4.3

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Étape 3.7.10.4.4

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Étape 3.7.10.4.5

Résolvez $y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ pour $y$ .

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Étape 3.7.10.4.5.1

Multipliez les deux côtés par $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.2.1.1

Simplifiez $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.2.1.1.2

Réécrivez $- 1 e^{- 2 C}$ comme $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.2.2.1

Simplifiez $\frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 C}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} (y + 1)$

Étape 3.7.10.4.5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2} \cdot 1$

Étape 3.7.10.4.5.2.2.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2}$

Étape 3.7.10.4.5.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.10.4.5.3.1

Soustrayez $x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2}$

Étape 3.7.10.4.5.3.2

Ajoutez $e^{- 2 C}$ aux deux côtés de l’équation.

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y e^{- 2 C} - x^{2} y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y (- x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y e^{- 2 C} + y (- x^{2})$ .

$y (e^{- 2 C} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.3.4

Réécrivez $e^{- 2 C}$ comme ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y ({(e^{- C})}^{2} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.3.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.3.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{- C}$ et $b = x$ .

$y ((e^{- C} + x) (e^{- C} - x)) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.3.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.5.3.6

Divisez chaque terme dans $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ par $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.3.6.1

Divisez chaque terme dans $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ par $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ .

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Étape 3.7.10.4.5.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- C} + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Étape 3.7.10.4.5.3.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Étape 3.7.10.4.5.3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{- C} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.5.3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Étape 3.7.10.4.5.3.6.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Étape 3.7.10.4.6

Résolvez $y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.1

Multipliez les deux côtés par $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.2.1.1

Simplifiez $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.6.2.1.1.2

Réécrivez $- 1 e^{- 2 C}$ comme $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.2.2.1

Simplifiez $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

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Étape 3.7.10.4.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 C}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ dans le numérateur.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.6.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} (y + 1)$

Étape 3.7.10.4.6.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2} \cdot 1$

Étape 3.7.10.4.6.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2}$

Étape 3.7.10.4.6.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.3.1

Ajoutez $x^{2} y$ aux deux côtés de l’équation.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2}$

Étape 3.7.10.4.6.3.2

Ajoutez $e^{- 2 C}$ aux deux côtés de l’équation.

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.6.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y e^{- 2 C} + x^{2} y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.6.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y x^{2} = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.6.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y e^{- 2 C} + y x^{2}$ .

$y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Étape 3.7.10.4.6.3.4

Divisez chaque terme dans $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ par $e^{- 2 C} + x^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ par $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Étape 3.7.10.4.6.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.10.4.6.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Étape 3.7.10.4.6.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Étape 3.7.10.4.6.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.10.4.6.3.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- x^{2} + e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Étape 3.7.10.4.6.3.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.10.4.6.3.4.3.2.1

Réécrivez $e^{- 2 C}$ comme ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{- x^{2} + {(e^{- C})}^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Étape 3.7.10.4.6.3.4.3.2.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{{(e^{- C})}^{2} - x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Étape 3.7.10.4.6.3.4.3.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{- C}$ et $b = x$ .

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Étape 3.7.10.4.7

Indiquez toutes les solutions.

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{x^{2}}{(C + x) (C - x)} + \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

$y = \frac{(C + x) (C - x)}{C + x^{2}}$