Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = - 6 x + 4 x y$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x + 4 x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3) + 4 x y$

Étape 1.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x y$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3) + 2 x (2 y)$

Étape 1.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- 3) + 2 x (2 y)$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3 + 2 y)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x} (2 x (- 3 + 2 y))$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 \frac{1}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Étape 1.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{2}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{2}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 (- 3 + 2 y)$

Étape 1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 \cdot - 3 + 2 (2 y)$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - 6 + 2 (2 y)$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - 6 + 4 y$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x} d x = (- 6 + 4 y) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - 6 + 4 y d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 6 + 4 y d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 6 d t + \int 4 y d t$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + C_{2} + \int 4 y d t$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + C_{2} + 4 y t + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + 4 y t + C_{4}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| x |) + C_{1} = 4 t y - 6 t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| x |) = 4 t y - 6 t + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| x |)} = e^{4 t y - 6 t + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| x |) = 4 t y - 6 t + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{4 t y - 6 t + C} = | x |$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| x | = e^{4 t y - 6 t + C}$ .

$| x | = e^{4 t y - 6 t + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{4 t y - 6 t + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $e^{4 t y - 6 t + C}$ comme $e^{4 t y - 6 t} e^{C}$ .

$x = \pm e^{4 t y - 6 t} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{4 t y - 6 t}$ et $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{4 t y - 6 t}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$x = C e^{4 t y - 6 t}$