Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = (1 + 4 t) \sqrt{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 4 t) \sqrt{y})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $\sqrt{y}$ à partir de $(1 + 4 t) \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 t))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 t))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 1 + 4 t$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 4 t) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 4 t d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 4 t d t$

Étape 2.2.1.2

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 4 t d t$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 4 t d t$

Étape 2.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 4 t d t$

Étape 2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 4 t d t$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 4 t d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d t + \int 4 t d t$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + \int 4 t d t$

Étape 2.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + 4 \int t d t$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{4}{2} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2}{1} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + 2 t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 t^{2} + t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$ par $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$y = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez ${(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ comme $(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2

Développez $(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = t^{2} t^{2} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = t^{2 + 2} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = t^{4} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2

Multipliez $t^{2} \frac{t}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.2.1

Associez $t^{2}$ et $\frac{t}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{2} t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{2} t^{1}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = t^{4} + \frac{t^{2 + 1}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.3

Associez $t^{2}$ et $\frac{K}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4

Multipliez $\frac{t}{2} t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.4.1

Associez $\frac{t}{2}$ et $t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t \cdot t^{2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.4.2.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.4.2.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{1} t^{2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{1 + 2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5

Multipliez $\frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.5.1

Multipliez $\frac{t}{2}$ par $\frac{t}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t \cdot t}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1} t}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1} t^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.6

Multipliez $\frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.6.1

Multipliez $\frac{t}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.7

Associez $\frac{K}{2}$ et $t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.8

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.8.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{t}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1.9.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.2

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.3

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = t^{4} + \frac{t^{3} + t^{2} K + t^{3} + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2

Additionnez $t^{3}$ et $t^{3}$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + t^{2} K + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4

Additionnez $t^{2} K$ et $K t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1

Remettez dans l’ordre $t^{2}$ et $K$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + K t^{2} + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Additionnez $K t^{2}$ et $K t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.5

Additionnez $t K$ et $K t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.5.1

Remettez dans l’ordre $t$ et $K$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + K t + K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.5.2

Additionnez $K t$ et $K t$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.6.1

Factorisez $2 t^{2}$ à partir de $2 t^{3} + 2 K t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.6.1.1

Factorisez $2 t^{2}$ à partir de $2 t^{3}$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t) + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.1.2

Factorisez $2 t^{2}$ à partir de $2 K t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t) + 2 t^{2} K}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.1.3

Factorisez $2 t^{2}$ à partir de $2 t^{2} (t) + 2 t^{2} K$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t + K)}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t + K)}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.2.2

Divisez $t^{2} (t + K)$ par $1$ .

$y = t^{4} + t^{2} (t + K) + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = t^{4} + t^{2} t + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.4

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.6.4.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.6.4.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$y = t^{4} + t^{2} t^{1} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = t^{4} + t^{2 + 1} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.6.5.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 K t = 2 \cdot t \cdot K$

Étape 3.3.2.1.6.5.2

Réécrivez le polynôme.

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 \cdot t \cdot K + K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.6.5.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = t$ et $b = K$ .

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$

Étape 3.4

Simplifiez $t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $t^{2}$ et $K$ .

$y = t^{4} + t^{3} + K t^{2} + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$

Étape 3.4.2

Remettez dans l’ordre $t$ et $K$ .

$y = t^{4} + t^{3} + K t^{2} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4}$

Étape 3.4.3

Déplacez $t^{3}$ .

$y = t^{4} + K t^{2} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + t^{3}$

Étape 3.4.4

Déplacez $K t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + K t^{2} + t^{3}$

Étape 3.4.5

Remettez dans l’ordre $t^{4}$ et $\frac{{(K + t)}^{2}}{4}$ .

$y = \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + t^{4} + K t^{2} + t^{3}$